Chapter1 事件及其概率

古典概型

• 样本空间有限
• 基本事件等可能发生
• 性质：
  1. \(P(\Omega)=1\)
  2. \(P(A)\geq 0\)
  3. 若\(A\)与\(B\)不同时发生，则\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)
• 推广：可列多个等可能样本点 —— 若\(A_i\)中任意两个不会同时发生，即\(A_i\cap A_j=\emptyset\)， 则\(\sum^{\infty}_{i=1}P(A_i)=P(\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i)\)

几何概型

样本空间为n维区域\(Omega\)，事件\(A_g = \left \{ \forall 样本点，落在区域g \in \Omega \right \}\)

则\(P(A_g)=\frac{g 测度}{\Omega 测度}\)

事件

样本点的某集合/样本空间的某子集

• \(A \ B\)：\(A\)发生但\(B\)不发生
• \(A \cup B\)：\(A\)或\(B\)发生
• \(A \cap B = \emptyset\)：\(A\)与\(B\)互不相容；此时\(A \cup B = A + B\)
• \(A \cap B = \emptyset\) 且 \(A \cup B = \Omega\) / \(A = \bar{B}\)：\(A\)与\(B\)互为逆事件

概率空间

• 样本空间\(\Omega\)
• 事件域\(\mathcal{F}\)：\(\Omega\)的子集构成的集合
• 概率测度\(P\)：\(\mathcal{F} \rightarrow [0, 1]\)
  1. \(P(\Omega)=1\)
  2. \(P(\emptyset)=0\)
  3. \(P(\bar{A})=1-P(A)\)
  4. \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)
  5. \(P(A \setminus B)=P(A)-P(AB)\)
  6. \(P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n)=\sum^n_{i=1}P(A_i) - \sum_{i<j}P(A_iA_j) + \sum_{i<j<k}P(A_iA_jA_k) - \cdots + (-1)^{n-1}P(A_1A_2\cdots A_n)\)

条件概率

• \(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\) —— 在\(B\)发生的条件下，\(A\)发生的概率

乘法公式

• \(P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\)
• \(P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})\)

全概率公式

• 分割：若\(A_i\)两两互不相容，且\(\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i=\Omega\)，则\(\left \{ A_1, A_2, \cdots \right \}\)构成\(\Omega\)的一个分割
• 全概率公式：\(P(B)=\sum^{\infty}_{i=1}P(A_i)P(B|A_i)\) 其中{ \(A_i\) }为\(\Omega\)的一个分割

贝叶斯公式

• \(P(A_i|B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum^{\infty}_{j=1}P(A_j)P(B|A_j)}\)

称\(P(A_i)\)为先验概率，\(P(A_i|B)\)为后验概率

独立性

• 若\(P(AB)=P(A)P(B)\)，或\(P(A|B)=P(A)\)，则称\(A\)与\(B\)独立
• 若\(A\)与\(B\)独立，则\(A\)与\(\bar{B}\)独立，\(\bar{A}\)与\(B\)独立，\(\bar{A}\)与\(\bar{B}\)独立
• \(A, B, C\)两两独立: \(P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C)\)
• \(A, B, C\)互相独立: 两两独立同时 \(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\)

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最后更新: 2025年2月14日 16:03:05
创建日期: 2025年2月14日 16:03:05